Schlagwort-Archive: Flächenkennwerte

Bei der Beurteilung der Festigkeit spielen zwei Faktoren eine Rolle:

  • Eigenschaften des Materials
  • Eigenschaften der Fläche

Hier sind alle Artikel zusammengefasst, die sich mit den Eigenschaften der Fläche befassen.

Hauptträgheitsmomente

Hier geht es um die Hauptflächenträgheitsmomente, nicht um Massenträgheitsmomente. Mathematisch gesehen sind zwar Flächenträgheitsmomente und Massenträgheitsmomente sehr ähnlich. Im Rahmen der Festigkeitslehre beschäftigen wir uns aber hier mit den Flächenträgheitsmomenten.

Die axialen Flächenträgheitsmomente \(I_{yy}\) und \(I_{zz}\) sowie das Deviationsmoment \(I_{yz}\) sind zunächst erst einmal auch ein beliebiges Koordinatensystem (y, z) bezogen.

Das Koordinatensystem kann man nun beliebig um den Schwerpunkt drehen. Es ändern sich durch die Drehung alle drei Flächenträgheitsmomente. Es gibt aber genau eine bestimmte Stellung, bei der \(I_{yy}\) maximal, \(I_{yy}\) minimal wird sowie das Deviationsmoment \(I_{yz}\) verschwindet. Damit sind die Hauptträgeitsmomente gefunden.

Betrachten wird das jetzt mal ein wenig mathematischer. Die axialen Flächenträgheitsmomente und das Deviationsmomenten kann als Trägheitstensor geschrieben werden:

\(
\tilde{I}=
\begin{bmatrix}
I_{yy} & I_{yz}\\
I_{yz} & I_{zz} \\
\end{bmatrix}
\)

Wenn man nun das Achsensystem so drehen möchte, dass das Deviationsmoment verschwindet und nur noch die beiden Werte auf der Hauptdiagonale vorhanden sind, dann ist ein Eigenwertproblem zu lösen.

\(det \left( \tilde{I} – I E \right) = 0\)

Einheitsmatrix:
\(
E=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\)

Einsetzen in die Formel für Eigenwertberechnung:
\(
det \left(
\begin{bmatrix}
I_{yy} & I_{yz}\\
I_{yz} & I_{zz}
\end{bmatrix}
– I
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\right) = 0\)

\(
det \left(
\begin{bmatrix}
I_{yy} & I_{yz}\\
I_{yz} & I_{zz}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
I & 0\\
0 & I
\end{bmatrix}
\right) = 0\)

\(
det
\begin{bmatrix}
I_{yy} – I & I_{yz}\\
I_{yz} & I_{zz} – I
\end{bmatrix}
= 0\)

Die Determinante wird expandiert:
\(\left( I_{yy} – I \right) \left( I_{zz} – I \right) – I_{yz}^2 =0\)

Es entsteht eine quadratische Gleichung.
\(I_{yy} I_{zz} – I_{yy} I – I_{zz} I + I^2 – I_{yz}^2 =0\)

Diese wird in die Normalform überführt:
\(I^2 – \left( I_{yy} + I_{zz} \right) I + I_{yy} I_{zz} – I_{yz}^2 =0\)

Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind die Haupttägheitsmomente. Die Nullstellen werden mit der p-q-Formel berechnet:
\(I_{1,2}= – \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 – q}\)

\(p=-\left( I_{yy} + I_{zz} \right)\)

\(q= I_{yy} I_{zz} – I_{yz}^2\)

Einsetzen in die p-q-Formel:
\(I_{1,2}= \frac{1}{2} \left( I_{yy} + I_{zz} \right) \pm \sqrt{ \frac{1}{4} \left( I_{yy} + I_{zz} \right)^2 – I_{yy} I_{zz} – I_{yz}^2}\)

Die Klammer unter der Wurzel wird entsprechend der 1. Binomischen Formel aufgelöst:
\(I_{1,2}= \frac{1}{2} \left( I_{yy} + I_{zz} \right) \pm \sqrt{ \frac{1}{4} \left( I_{yy}^2 + 2 I_{yy} I_{zz} + I_{zz}^2 \right) – I_{yy} I_{zz} – I_{yz}^2}\)

\(I_{1,2}= \frac{1}{2} \left( I_{yy} + I_{zz} \right) \pm \sqrt{ \frac{1}{4} \left( I_{yy}^2 + 2 I_{yy} I_{zz} + I_{zz}^2 – 4 I_{yy} I_{zz} + 4 I_{yz}^2 \right)}\)

\(I_{1,2}= \frac{1}{2} \left( I_{yy} + I_{zz} \right) \pm \frac{1}{2} \sqrt{ I_{yy}^2 – 2 I_{yy}I_{zz} + I_{zz}^2 + 4 I_{yz}^2 }\)

Die ersten drei Summanden unter der Wurzel werden entsprechend der 2. Binomischen Formel zusammengefasst:
\(I_{1,2}= \frac{1}{2} \left( I_{yy} + I_{zz} \right) \pm \frac{1}{2} \sqrt{ \left( I_{yy} – I_{zz}\right)^2 + 4 I_{yz}^2 }\)

\(I_{1}= \frac{1}{2} \left( I_{yy} + I_{zz} \right) + \frac{1}{2} \sqrt{ \left( I_{yy} – I_{zz}\right)^2 + 4 I_{yz}^2 }\)

\(I_{2}= \frac{1}{2} \left( I_{yy} + I_{zz} \right) – \frac{1}{2} \sqrt{ \left( I_{yy} – I_{zz}\right)^2 + 4 I_{yz}^2 }\)

\(I_{1}\) ist immer das größere Flächenträgheitsmoment, also das Trägheitsmoment für die Biegung um die “starke” Achse.

Mathematisch ist hier genau das gleiche Problem wie bei der Berechnung der Hauptspannungen zu lösen.

Siehe auch:

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Schwerpunkt

Schneidet man eine beliebige geometrische Figur aus Pappe aus, dann gibt es genau einen Punkt, an dem man die Pappe mit einer Nadel lagern kann, so dass sie sich im Gleichgewicht befindet. Dieser Punkt wird Schwerpunkt der Fläche genannt. Auch von Kurven und Körpern können Schwerpunkte berechnet werden. Hier geht es aber um Flächen.

Berechnet wird der Schwerpunkt mittels des statischen Momentes und der Querschnittsfläche.

\(y= \frac {S_z}{A}\)

\(z= \frac {S_y}{A}\)

Die statischen Momente werden allgemein nach diesen beiden Formeln berechnet:

\(S_y= \int_A z \cdot dA\)

\(S_z= \int_A y \cdot dA\)

Beispiel

Am Beispiel einer einfachen Fläche soll demonstriert werden, wie bei der Berechnung vorgegangen wird.

Querschnitt Maße

Beliebiges Koordinatensystem festlegen

Querschnitt Achsen

Die Lage ist grundsätzlich beliebig. Es ist jedoch sinnvoll, zwei Kanten des Querschnitts zu benutzen. Auf dieses Koordinatensystem werden die dann die Koordinaten des Schwerpunktes beziehen.

Unterteilung der Fläche

Querschnitt Teilflächen

Die Fläche wird in einfache Teilflächen aufgeteilt. Für jede Teilfläche muss die Lage des Schwerpunktes bekannt sein. In diesem Fall handelt es sich um Rechtecke. Die Schwerpunkte liegen hier:

Querschnitt Teilflächen mit Schwerpunkten

Flächen ermitteln

\(
A_1=1 cm \cdot 2 cm = 2 cm^2 \\
A_2=1 cm \cdot 4 cm = 4 cm^2 \\
A_3=1 cm \cdot 3 cm = 3 cm^2\)

\(A_{gesamt}= 2 cm^2 + 4 cm^2 + 3 cm^2= 9 cm^2 \)

Statisches Moment Sy ermitteln

Jede Fläche wird mit dem Abstand des Schwerpunktes zur y-Achse multipliziert.
\(
S_{1,y}= 2 cm^2 \cdot 0,5 cm = 1 cm^3 \\
S_{2,y}= 4 cm^2 \cdot 3,0 cm = 12 cm^3 \\
S_{3,y}= 3 cm^2 \cdot 5,5 cm = 16,5 cm^3\)

\(S_y= 1 cm^3 + 12 cm^3 + 16,5 cm^3\)

Statisches Moment Sz ermitteln

\(
S_{1,z}= 2 cm^2 \cdot 1 cm = 2 cm^3 \\
S_{2,z}= 4 cm^2 \cdot 0,5 cm = 2 cm^3 \\
S_{3,z}= 3 cm^2 \cdot 1,5 cm = 4,5 cm^3\)

\(S_z= 2 cm^3 + 2 cm^3 + 4,5 cm^3\)

y-Koordinate des Scherpunktes ermitteln

\(y= \frac{8,5cm^3}{9cm^2}\)

\(y= 0,94cm\)

z-Koordinate des Scherpunktes ermitteln

\(z= \frac{29,5cm^3}{9cm^2}\)

\(z= 3,28cm\)

Für die Berechnung der Querschnittswerte komplizierter Querschnittsformen gibt es entsprechende Spezialsoftware. Auch viele CAD-Programme können solche Berechnungen durchführen.

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Steinerscher Anteil

Die Formeln für die Berechnung des Flächenträgheitsmomentes gelten nur dann, wenn die Biegung um die Schwereachse des Querschnittes erfolgt.

Erfolgt die Biegung um eine andere Achse, dann ist der Widerstand gegenüber der Biegung größer. Zum Flächenträgheitsmoment muss noch eine gewisser Anteil hinzugezählt werden, der Steinersche Anteil.

Er ist abhängig von zwei Größen:

  1. Abstand der Schwereachse von der Biegeachse
  2. Fläche des Querschnittes

Der Abstand geht quadratisch ein, die Fläche linear. Das Flächenträgheitsmoment wird mit Steinerschen Anteil so berechnet:

\(I_{yy} = I_{\overline{yy}} + z^2 A\)

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Schubmittelpunkt

Wird ein Querschnitt mit Querkräften belastet, dann entstehen Schubspannungen. Bei einem unsymmetrischen Querschnitt führen diese Schubspannungen zu einer Verdrehung (Torsion) des Querschnitts, wenn die Last im Schwerpunkt eingeleitet wird. Verschiebt man die Last seitlich, so kann ein Punkt gefunden werden, bei dem im Querschnitt keine Torsion auftritt. Dies ist der Schubmittelpunkt. Er wird im Allgemeinen mit “M” bezeichnet.

Bei doppeltsymmetrischen Querschnitten fallen Schubmittelpunkt und Schwerpunkt zusammen.

Andere Bezeichnungen für den Schubmittelpunkt:

  • Querkraftmittelpunkt
  • Drillruhepunkt

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Flächenmoment

Flächenmomente sind Kennwerte der Querschnittsfläche, die neben dem Elastizitätsmodul entscheidenden Anteil für Berechnung der Spannungen und Dehnungen haben. In der Festigkeitslehre werden drei verschiedene Arten der Flächenmomente verwendet:

  • Flächenmoment 0. Ordnung
  • Flächenmoment 1. Ordnung
  • Flächenmoment 2. Ordnung

Das Flächenmoment wird allgemein durch diese Formel (vereinfacht) berechnet:

\(A_i=\int_{A}z^{i}dA\)

Mit i wird die Ordnung des Flächenmomentes bezeichnet. Wenn nun für i die Werte 0 bis 2 eingesetzt werden, dann ergeben sich folgende Querschnittskenngrößen:

Ordnung Formel Bezeichnung
0 \(A=\int_{A}z^{0}dA\) Querschnittsfläche
1 \(S_y=\int_{A}z^{1}dA\) Statisches Flächenmoment
2 \(I_y=\int_{A}z^{2}dA\) Flächenträgheitsmoment

Siehe auch:

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Statisches Moment

Das statische Moment wird auch als Flächenmoment 1. Grades bezeichnet. Es ist gemeinsam mit dem Flächenträgheitsmoment und der Querschnittsfläche eine wichtige geometrische Eigenschaft eines Querschnitts. Die SI-Einheit ist m3. Die gebäuchliche Einheit ist cm3. Gebraucht wird das statische Moment unter anderen für die Berechung des Querkraftschubs oder auch des Schwerpunktes einer Fläche.

Auch für die Berechnung des Schwerpunktes einer Fläche wird das statische Moment benutzt.

Andere Bezeichungen für das statische Moment:

  • Flächenmoment 1. Ordnung
  • Statisches Flächenmoment
  • Flächenmoment 1. Grades

Statische Moment bezogen auf die y-Achse:

\(S_y=\int_A z \cdot dA\)

Statische Moment bezogen auf die z-Achse:

\(S_z=\int_A y \cdot dA\)

Man kann die Querschnittsfläche als Flächenmoment 0. Grades, das statische Moment als Flächenmoment 1. Grades und das Flächenträgheitsmoment als Flächenmoment 2. Grades bezeichnen. Was damit gemeint ist wird aus diesen Vergleich deutlich:

Fläche Flächenmoment 0. Ordnung \(A=\int_A z^0 \cdot dA\)
Statisches Moment Flächenmoment 1. Ordnung \(S_y=\int_A z^1 \cdot dA\)
Flächenträgheitsmoment Flächenmoment 2. Ordnung \(I_y=\int_A z^2 \cdot dA\)

Siehe auch:

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Widerstandsmoment

Das Widerstandsmoment ist eine aus dem Flächenträgheitsmoment abgeleitete Größe. Die Berechnung der maximalen Biegespannung soll dadurch vereinfacht werden.

Bei Biegung um die y-Achse berechnet sich die Biegespannung eigentlich nach folgender Formel:

\(\sigma_{b,y}=\frac{M}{I_y} z\)

Mit dieser Formel kann die Spannung an jeder beliebigen Stelle des Querschnitts berechnet werden, es muss nur nur der entsprechender Wert für z eingesetzt werden.

Die betragsmäßig größte Biegespannung bekommt man, in dem man den betragsmäßig größten Wert von z in die Formel einsetzt. Die maximale Biegespannung tritt also an dem Querschnittsteil auf, der am weitesten von der Schwereachse entfernt ist.

Im Widerstandmoment wird das Flächenträgheitsmoment und die Entfernung von der Schwereachse so zusammengefasst:

W_y für Biegung um die y-Achse

W_z für Biegung um die z-Achse

Damit können die betragsmäßig größten Biegespannungen nach folgenden Formeln berechnet werden:

Biegespannung für Biegung um die y-Achse

Biegespannung für Biegung um die z-Achse

Formeln für gebräuchliche Querschnitte

Rechteck

Rechteckquerschnitt

\(W_y=\frac{ b\cdot h^2}{ 6}\)
\(W_z=\frac{ b^2 \cdot h}{ 6}\)

Quadrat

Quadrat
\(W=\frac{ a^3}{ 6}\)

Kreis

Flächenträgheitsmoment Kreisquerschnitt
\(W=\frac{\pi}{4}\cdot r^3\)

Kreisring

Dünner Kreisring:
\(W= \pi \cdot r_m^2 \cdot t\)

Siehe auch:

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Flächenträgheitsmoment

Das Flächenträgheitsmoment ist eine geometrische Kenngröße einer Querschnittsfläche.

Es sagt aus, wie groß der Widerstand des Querschnitts gegen eine Verformung ist. Zusammen mit dem E-Modul bildet es die Steifigkeit. Die SI-Einheit ist m4. Die gebäuchliche Einheit ist cm4.

Das Flächenträgheitsmoment wird wird auch Flächenmoment 2. Grades genannt. Das Flächenmoment 1. Grades ist das statische Moment, das Flächenmoment 0. Grades die Querschnittsfläche.

Aus dem Flächenträgheitsmoment abgeleitet ist das Widerstandsmoment.

Axiales Flächenträgheitsmoment

Das axiale Flächenträgheitsmoment für Biegung um die y-Achse wird allgemein so berechnet:

\(I_y=\int_{A}z^{2}dA\)

Für die Biegung um die z-Achse sieht die Formel so aus:

\(I_z=\int_{A}y^{2}dA\)

Diese Formeln kann man sich anschaulich etwa so vorstellen: Das infinitesimal kleine Flächenelement wird mit der quadrierten Entfernung zur Schwereachse multipliziert.

Polares Flächenträgheitsmoment

Neben den axialen Flächenträgheitsmoment spielt auch das polare Flächenträgheitsmoment in der technischen Mechanik eine wichtige Rolle. Die allgemeine Formel für das polare Flächenträgheitsmoment lautet:

\(I_p=\int_{A}r^{2}dA\)

Das polare Flächenträgheitsmoment kann ganz einfach aus den beiden axialen Flächenträgheitsmomenten berechnet werden.

\(I_p=I_y+I_z\)

Deviationsmoment

Das Deviationsmoment wird auch Zentrifugalmoment genannt. Die allgemeine Formel für das Deviationsmoment lautet:

\(I_{yz}=-\int_{A} y z \; dA\)

Formeln für gebräuchliche Querschnitte

Für gebräuchliche Flächen gibt es fertige Formeln für die Biegung um die Schwereachse. Erfolgt die Biegung um eine Achse, die parallel zur Schwereachse mit einem gewissen Abstand verläuft, dann können auch die folgenden Formeln verwendet werden, es muss noch zusätzlich der Steinersche Anteil hinzugezählt werden.

Rechteck

Rechteckquerschnitt

\(I_y=\frac{ b\cdot h^3}{ 12}\)

\(I_z=\frac{ b^3 \cdot h}{ 12}\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p=\frac{ b \cdot h}{ 12} \left( h^2+b^2 \right)\)

Berechnung Rechteck


Quadrat

Quadrat

\(I_y=\frac{ a^4}{ 12}\)

\(I_z=\frac{ a^4}{ 12}\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p=\frac{ a^4}{6}\)

Berechnung Quadrat


Dreieck

gleichschenklich:

Dreieckquerschnitt

\(I_y=\frac{ b\cdot h^3}{ 36}\)

\(I_z=\frac{ b^3 \cdot h}{ 48}\)

Berechnung Dreieck


allgemein:

Dreieckquerschnitt

\(I_y=\frac{ b\cdot h^3}{ 36}\)

\(I_z=\frac{ b \cdot h}{ 36} \left( b^2 – ba + a^2 \right)\)

\(I_{yz}= – \frac{ b \cdot h^2}{ 72} \left( b – 2a \right)\)

\(I_p=\frac{ b \cdot h}{36} \left( h^2 + b^2 – ba + a^2 \right)\)

Kreis

Flächenträgheitsmoment Kreisquerschnitt

\(I_y=\frac{\pi}{4}\cdot r^4\)

\(I_z=\frac{\pi}{4}\cdot r^4\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p=\frac{\pi}{2}\cdot r^4\)

Halbkreis

Flächenträgheitsmoment Halbkreisquerschnitt

\(I=\left( \frac{\pi}{8} – \frac{8}{9 \pi } \right)r^4\)

\(e=\left( 1 – \frac{4}{3 \pi } \right)r\)

Kreisring dick

Rechteckquerschnitt

\(I_y=\frac{\pi}{4} \left( R^4 – r^4 \right)\)

\(I_z=\frac{\pi}{4} \left( R^4 – r^4 \right)\)

\(I_{yz}=0\)

Kreisring dünn

\(I_y= \pi \cdot r_m^3 \cdot t\)

\(I_z= \pi \cdot r_m^3 \cdot t\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p= 2 \cdot \pi \cdot r_m^3 \cdot t\)

Ellipse

\(I_y= \frac{\pi}{4} \cdot a \cdot b^3\)

\(I_z= \frac{\pi}{4} \cdot a^3 \cdot b\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p= \frac{\pi \cdot a \cdot b}{4} \left( a^2 + b^2 \right)\)

Beispiel für die Berechnung des Flächenträgheitsmomentes

Anhand eines sehr einfachen Beispiels soll hier gezeigt werden, wie bei der Berechnung des Flächenträgheitsmomentes bei einem zusammgesetzten Querschnitts vorgegangen wird.

Querschnitt mit Bemaßung

Schwerpunkt bestimmen

Als Erstes muss der Schwerpunkt bestimmt werden. Das machen wir uns hier ganz einfach und verwenden einen doppeltsymmetrischen Querschnitt. Da ist die Lage des Schwerpunktes offensichtlich. Andernfalls muss zuerst eine Schwerpunktberechnung durchgeführt werden.

Koordinatensystem festlegen

Dann wird ein Koordinatensystem festgelegt, das im Schwerpunkt liegt.

Querschnitt mit Achsen

Unterteilung der Fläche

Querschnitt mit Teilflächen

Die Fläche wird ein einfache Teilflächen unterteilt. Für jede Teilfläche muss eine Formel bekannt sein, nach dem das Teil-Flächenträgheitsmoment berechnet werden kann. Hier in diesem Beispiel werden nur Rechteckflächen verwendet.

Teil-Flächenträgheitsmomente ermitteln

\(
I_{yy,1}=\frac{ 1^3 \cdot 5}{ 12} =0,416 cm^4 \\
I_{yy,2}=\frac{ 3^3 \cdot 1}{ 12} =2,25 cm^4 \\
I_{yy,3}=\frac{ 3^3 \cdot 1}{ 12} =2,25 cm^4 \\
I_{yy,4}=\frac{ 1^3 \cdot 5}{ 12} =0,416 cm^4 \\
\)

\(
I_{zz,1}=\frac{ 5^3 \cdot 1}{ 12} =10,417 cm^4 \\
I_{zz,2}=\frac{ 1^3 \cdot 3}{ 12} =0,25 cm^4 \\
I_{zz,3}=\frac{ 1^3 \cdot 3}{ 12} =0,25 cm^4 \\
I_{zz,4}=\frac{ 5^3 \cdot 1}{ 12} =10,417 cm^4 \\
\)

Steiner-Anteile ermitteln

Für die Steinerschen Anteile müssen erst einmal die einzelnen Teilflächen bestimmt werden.
\(
A_{1}=5 \cdot 1 = 5 cm^2 \\
A_{2}=1 \cdot 3 = 3 cm^2 \\
A_{3}=1 \cdot 3 = 3 cm^2 \\
A_{4}=5 \cdot 1 = 5 cm^2 \\
\)

\(
I_{yy,1,Steiner}= 5 \cdot 3,5^2 = 61,25 cm^4\\
I_{yy,2,Steiner}= 3 \cdot 1,5^2 = 6,75 cm^4\\
I_{yy,3,Steiner}= 3 \cdot 1,5^2 = 6,75 cm^4\\
I_{yy,4,Steiner}= 5 \cdot 3,5^2 = 61,25 cm^4\\
\)

Für die Biegung um die z-Achse liegen alle Teilflächen im Schwerpunkt, so das kein Steinerscher Anteil berücksichtigt werden muss.

Flächenträgheitsmoment um die y-Achse ermitteln

\(
I_{yy}=0,416 + 2,25 + 2,25 + 0,416 + 61,25 + 6,75 + 6,75 + 61,25 = 141,332cm^4
\)

Flächenträgheitsmoment um die z-Achse ermitteln

\(
I_{zz}=10,417 + 0,25 + 0,25 + 10,417 = 21,334 cm^4\\
\)

Noch eine zwei kurze Anmerkungen zu diesem Beispiel.

Die Flächenaufteilung ist vom Rechenaufwand her nicht optimal. Die Flächen 2 und 3 hätten zusammengefasst werden können. Dann wäre auch der Steinersche Anteil weggefallen. Mir ging es hier aber darum, die Berechnung möglichst schematisch durchzuführen, um nach dem gleichen Schema auch kompliziertere Querschnitte rechnen zu können.

Es ist interessant, einmal einen Blick auf die einzelnen Beiträge der Querschnittsteile zu werfen. Die Biegung der Flansche hat für das Flächenträgheitsmomene um die Y-Achse kaum Einfluss. Der Antei ist kleiner als \(1 cm^4\). Für die Flansche würde es näherungsweise ausreichen, nur den Steinerschen Anteil zu berücksichtigen. Bei der Biegung um die z-Achse könnten ebenfalls die Anteile der Flächen 2 und 3 vernachlässigt werden.

Für die Berechnung komplizierterer Querschnitte gibt es entsprechende Software. Viele CAD-Programme ermöglichen ebenfalls die Berechnung von Querschnittswerten wie das Flächenträgheitsmoment.

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