Flächenträgheitsmoment

Das Flächenträgheitsmoment ist eine geometrische Kenngröße einer Querschnittsfläche.

Es sagt aus, wie groß der Widerstand des Querschnitts gegen eine Verformung ist. Zusammen mit dem E-Modul bildet es die Steifigkeit. Die SI-Einheit ist m4. Die gebäuchliche Einheit ist cm4.

Das Flächenträgheitsmoment wird wird auch Flächenmoment 2. Grades genannt. Das Flächenmoment 1. Grades ist das statische Moment, das Flächenmoment 0. Grades die Querschnittsfläche.

Aus dem Flächenträgheitsmoment abgeleitet ist das Widerstandsmoment.

Axiales Flächenträgheitsmoment

Das axiale Flächenträgheitsmoment für Biegung um die y-Achse wird allgemein so berechnet:

\(I_y=\int_{A}z^{2}dA\)

Für die Biegung um die z-Achse sieht die Formel so aus:

\(I_z=\int_{A}y^{2}dA\)

Diese Formeln kann man sich anschaulich etwa so vorstellen: Das infinitesimal kleine Flächenelement wird mit der quadrierten Entfernung zur Schwereachse multipliziert.

Polares Flächenträgheitsmoment

Neben den axialen Flächenträgheitsmoment spielt auch das polare Flächenträgheitsmoment in der technischen Mechanik eine wichtige Rolle. Die allgemeine Formel für das polare Flächenträgheitsmoment lautet:

\(I_p=\int_{A}r^{2}dA\)

Das polare Flächenträgheitsmoment kann ganz einfach aus den beiden axialen Flächenträgheitsmomenten berechnet werden.

\(I_p=I_y+I_z\)

Deviationsmoment

Das Deviationsmoment wird auch Zentrifugalmoment genannt. Die allgemeine Formel für das Deviationsmoment lautet:

\(I_{yz}=-\int_{A} y z \; dA\)

Formeln für gebräuchliche Querschnitte

Für gebräuchliche Flächen gibt es fertige Formeln für die Biegung um die Schwereachse. Erfolgt die Biegung um eine Achse, die parallel zur Schwereachse mit einem gewissen Abstand verläuft, dann können auch die folgenden Formeln verwendet werden, es muss noch zusätzlich der Steinersche Anteil hinzugezählt werden.

Rechteck

Rechteckquerschnitt

\(I_y=\frac{ b\cdot h^3}{ 12}\)

\(I_z=\frac{ b^3 \cdot h}{ 12}\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p=\frac{ b \cdot h}{ 12} \left( h^2+b^2 \right)\)

Berechnung Rechteck


Quadrat

Quadrat

\(I_y=\frac{ a^4}{ 12}\)

\(I_z=\frac{ a^4}{ 12}\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p=\frac{ a^4}{6}\)

Berechnung Quadrat


Dreieck

gleichschenklich:

Dreieckquerschnitt

\(I_y=\frac{ b\cdot h^3}{ 36}\)

\(I_z=\frac{ b^3 \cdot h}{ 48}\)

Berechnung Dreieck


allgemein:

Dreieckquerschnitt

\(I_y=\frac{ b\cdot h^3}{ 36}\)

\(I_z=\frac{ b \cdot h}{ 36} \left( b^2 – ba + a^2 \right)\)

\(I_{yz}= – \frac{ b \cdot h^2}{ 72} \left( b – 2a \right)\)

\(I_p=\frac{ b \cdot h}{36} \left( h^2 + b^2 – ba + a^2 \right)\)

Kreis

Flächenträgheitsmoment Kreisquerschnitt

\(I_y=\frac{\pi}{4}\cdot r^4\)

\(I_z=\frac{\pi}{4}\cdot r^4\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p=\frac{\pi}{2}\cdot r^4\)

Halbkreis

Flächenträgheitsmoment Halbkreisquerschnitt

\(I=\left( \frac{\pi}{8} – \frac{8}{9 \pi } \right)r^4\)

\(e=\left( 1 – \frac{4}{3 \pi } \right)r\)

Kreisring dick

Rechteckquerschnitt

\(I_y=\frac{\pi}{4} \left( R^4 – r^4 \right)\)

\(I_z=\frac{\pi}{4} \left( R^4 – r^4 \right)\)

\(I_{yz}=0\)

Kreisring dünn

\(I_y= \pi \cdot r_m^3 \cdot t\)

\(I_z= \pi \cdot r_m^3 \cdot t\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p= 2 \cdot \pi \cdot r_m^3 \cdot t\)

Ellipse

\(I_y= \frac{\pi}{4} \cdot a \cdot b^3\)

\(I_z= \frac{\pi}{4} \cdot a^3 \cdot b\)

\(I_{yz}=0\)

\(I_p= \frac{\pi \cdot a \cdot b}{4} \left( a^2 + b^2 \right)\)

Beispiel für die Berechnung des Flächenträgheitsmomentes

Anhand eines sehr einfachen Beispiels soll hier gezeigt werden, wie bei der Berechnung des Flächenträgheitsmomentes bei einem zusammgesetzten Querschnitts vorgegangen wird.

Querschnitt mit Bemaßung

Schwerpunkt bestimmen

Als Erstes muss der Schwerpunkt bestimmt werden. Das machen wir uns hier ganz einfach und verwenden einen doppeltsymmetrischen Querschnitt. Da ist die Lage des Schwerpunktes offensichtlich. Andernfalls muss zuerst eine Schwerpunktberechnung durchgeführt werden.

Koordinatensystem festlegen

Dann wird ein Koordinatensystem festgelegt, das im Schwerpunkt liegt.

Querschnitt mit Achsen

Unterteilung der Fläche

Querschnitt mit Teilflächen

Die Fläche wird ein einfache Teilflächen unterteilt. Für jede Teilfläche muss eine Formel bekannt sein, nach dem das Teil-Flächenträgheitsmoment berechnet werden kann. Hier in diesem Beispiel werden nur Rechteckflächen verwendet.

Teil-Flächenträgheitsmomente ermitteln

\(
I_{yy,1}=\frac{ 1^3 \cdot 5}{ 12} =0,416 cm^4 \\
I_{yy,2}=\frac{ 3^3 \cdot 1}{ 12} =2,25 cm^4 \\
I_{yy,3}=\frac{ 3^3 \cdot 1}{ 12} =2,25 cm^4 \\
I_{yy,4}=\frac{ 1^3 \cdot 5}{ 12} =0,416 cm^4 \\
\)

\(
I_{zz,1}=\frac{ 5^3 \cdot 1}{ 12} =10,417 cm^4 \\
I_{zz,2}=\frac{ 1^3 \cdot 3}{ 12} =0,25 cm^4 \\
I_{zz,3}=\frac{ 1^3 \cdot 3}{ 12} =0,25 cm^4 \\
I_{zz,4}=\frac{ 5^3 \cdot 1}{ 12} =10,417 cm^4 \\
\)

Steiner-Anteile ermitteln

Für die Steinerschen Anteile müssen erst einmal die einzelnen Teilflächen bestimmt werden.
\(
A_{1}=5 \cdot 1 = 5 cm^2 \\
A_{2}=1 \cdot 3 = 3 cm^2 \\
A_{3}=1 \cdot 3 = 3 cm^2 \\
A_{4}=5 \cdot 1 = 5 cm^2 \\
\)

\(
I_{yy,1,Steiner}= 5 \cdot 3,5^2 = 61,25 cm^4\\
I_{yy,2,Steiner}= 3 \cdot 1,5^2 = 6,75 cm^4\\
I_{yy,3,Steiner}= 3 \cdot 1,5^2 = 6,75 cm^4\\
I_{yy,4,Steiner}= 5 \cdot 3,5^2 = 61,25 cm^4\\
\)

Für die Biegung um die z-Achse liegen alle Teilflächen im Schwerpunkt, so das kein Steinerscher Anteil berücksichtigt werden muss.

Flächenträgheitsmoment um die y-Achse ermitteln

\(
I_{yy}=0,416 + 2,25 + 2,25 + 0,416 + 61,25 + 6,75 + 6,75 + 61,25 = 141,332cm^4
\)

Flächenträgheitsmoment um die z-Achse ermitteln

\(
I_{zz}=10,417 + 0,25 + 0,25 + 10,417 = 21,334 cm^4\\
\)

Noch eine zwei kurze Anmerkungen zu diesem Beispiel.

Die Flächenaufteilung ist vom Rechenaufwand her nicht optimal. Die Flächen 2 und 3 hätten zusammengefasst werden können. Dann wäre auch der Steinersche Anteil weggefallen. Mir ging es hier aber darum, die Berechnung möglichst schematisch durchzuführen, um nach dem gleichen Schema auch kompliziertere Querschnitte rechnen zu können.

Es ist interessant, einmal einen Blick auf die einzelnen Beiträge der Querschnittsteile zu werfen. Die Biegung der Flansche hat für das Flächenträgheitsmomene um die Y-Achse kaum Einfluss. Der Antei ist kleiner als \(1 cm^4\). Für die Flansche würde es näherungsweise ausreichen, nur den Steinerschen Anteil zu berücksichtigen. Bei der Biegung um die z-Achse könnten ebenfalls die Anteile der Flächen 2 und 3 vernachlässigt werden.

Für die Berechnung komplizierterer Querschnitte gibt es entsprechende Software. Viele CAD-Programme ermöglichen ebenfalls die Berechnung von Querschnittswerten wie das Flächenträgheitsmoment.

Siehe auch:

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