Herleitung der Gestaltänderungsenergiehypothese

Im folgenden wird gezeigt, wie man auf die allseits bekannte Formel der Gestaltänderungsenergiehypothese für den räumlichen Spannungszustand kommt.

\(\sigma_v = \sqrt{ \frac{1}{2} \cdot \left[ \left( \sigma_1 – \sigma_2 \right)^2 + \left( \sigma_1 – \sigma_3 \right)^2 + \left( \sigma_2 – \sigma_3 \right)^2 \right]} \)

Aus der Herleitung wird sehr deutlich, warum der korrekte Name für diese Vergleichsspannungshypothese Gestaltänderungsenergiehypothese ist.

Die Dehnungen im räumlichen Spannungszustand werden nach den folgenden Formeln berechnet:

\(\epsilon_1=\frac{ 1}{ E}\left[ \sigma_1 – \nu \left( \sigma_2+ \sigma_3 \right) \right ]\)

\(\epsilon_2=\frac{ 1}{ E}\left[ \sigma_2 – \nu \left( \sigma_1+ \sigma_3 \right) \right ]\)

\(\epsilon_3=\frac{ 1}{ E}\left[ \sigma_3 – \nu \left( \sigma_1+ \sigma_2 \right) \right ]\)

\(\sigma_1, \sigma_2,\sigma_3 \): Hauptspannungen
\(\epsilon_1, \epsilon_2,\epsilon_3 \): Hauptdehnungen
\(\nu\): Querdehnzahl
\(E\): Elastizitätsmodul

Die innere Energie \(U\) wird durch folgende Formel berechnet:

\(U=\frac{1}{2} \left( \sigma_1 \cdot \epsilon_1 + \sigma_2 \cdot \epsilon_2 +\sigma_3 \cdot \epsilon_3 \right)\)

In dieser Gleichung wird die Dehnung entsprechen der oberen Gleichungen ersetzt.

\(U=\frac{1}{2} \left( \sigma_1 \cdot \frac{ 1}{ E}\left[ \sigma_1 – \nu \left( \sigma_2+ \sigma_3 \right) \right ] + \sigma_2 \cdot \frac{ 1}{ E}\left[ \sigma_2 – \nu \left( \sigma_1+ \sigma_3 \right) \right ] +\sigma_3 \cdot \frac{ 1}{ E}\left[ \sigma_3 – \nu \left( \sigma_1+ \sigma_2 \right) \right ] \right)\)

\(U=\frac{1}{2 \cdot E} \left(
\sigma_1 \cdot \left[ \sigma_1 – \nu \left( \sigma_2 + \sigma_3 \right) \right]
+ \sigma_2 \cdot \left[ \sigma_2 – \nu \left( \sigma_1 + \sigma_3 \right) \right]
+ \sigma_3 \cdot \left[ \sigma_3 – \nu \left( \sigma_1 + \sigma_2 \right) \right]
\right)\)

\(U=\frac{1}{2 \cdot E} \left(
\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2
– \sigma_1 \cdot \nu \cdot \left( \sigma_2 + \sigma_3 \right)
– \sigma_2 \cdot \nu \cdot \left( \sigma_1 + \sigma_3 \right)
– \sigma_3 \cdot \nu \cdot \left( \sigma_1 + \sigma_2 \right)
\right)\)

\(U=\frac{1}{2 \cdot E} \left(
\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2
– \nu \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 – \nu \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_3
– \nu \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2 – \nu \cdot \sigma_2 \cdot \sigma_3
– \nu \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_3 – \nu \cdot \sigma_2 \cdot \sigma_3
\right)\)

\(U=\frac{1}{2 \cdot E} \left(
\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2
– 2 \nu \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_2
– 2 \nu \cdot \sigma_1 \cdot \sigma_3
– 2 \nu \cdot \sigma_2 \cdot \sigma_3
\right)\)

\(U= \frac{1}{2 \cdot E} \left[ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 + \sigma_3^2 – 2 \nu \left( \sigma_1 \cdot \sigma_2 + \sigma_1 \cdot \sigma_3 + \sigma_2 \cdot \sigma_3 \right) \right] \)

Bei der Gestaltänderungsenergiehypothese wird davon ausgegangen, dass nur der Anteil der Energie für das Versagen zuständig ist, der eine Gestaltsänderung hervorruft. Für den hydrostatischen Spannungszustand gilt, dass die Spannungen in allen Richtungen gleich sind. In Hauptspannungen ausgedrückt:
\(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = \sigma\)

Das wird jetzt in die Formel für die innere Energie eingesetzt und es ergibt sich der hydrostatische Anteil der inneren Energie:
\(U_h= \frac{1}{2 \cdot E} \left[ \sigma^2 + \sigma^2 + \sigma^2 – 2 \nu \left( \sigma \cdot \sigma + \sigma \cdot \sigma + \sigma \cdot \sigma \right) \right] \)

\(U_h= \frac{1}{2 \cdot E} \left[ 3 \sigma^2 – 2 \nu \left( 3\sigma^2 \right) \right] \)

\(U_h= \frac{1}{2 \cdot E} 3 \sigma^2 \left( 1 – 2 \nu \right) \)

\(U_h= \frac{1 – 2 \nu}{2 \cdot E} 3 \sigma^2 \)

Das ist die schon die fertige Formel für die hydrostatische Energie. Um diese dann von der Gesamtenergie abziehen zu können, werden wieder die Hauptspannungen \(\sigma_1\), \(\sigma_2\) und \(\sigma_3\) eingeführt.
\(\sigma= \frac{3 \sigma}{3}\)
Da alle Hauptspannungen gleich sein kann man auch schreiben:
\(\sigma= \frac{ \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3}{3}\)
Das wird jetzt in die Formel für die hydrostatische Energie eingesetzt:
\(U_h= \frac{1 – 2 \nu}{2 \cdot E} 3 \left( \frac{ \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3}{3} \right)^2\)

\(U_h= \frac{1 – 2 \nu}{2 \cdot E} \cdot \frac{3}{9} \left( \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 \right)^2\)

\(U_h= \frac{1 – 2 \nu}{6 \cdot E} \left( \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 \right)^2\)

Die Gestaltänderungsenergie ergibt sich, wenn von der Gesamtendergie die hydrostatische Anteil abgezogen wird:

\(U_F=U-U_{h}\)

\(U_F=U-U_{h}= \frac{1+ \nu}{6 \cdot E} \left[ \left( \sigma_1 – \sigma_2 \right)^2 + \left( \sigma_1 – \sigma_3 \right)^2 + \left( \sigma_2 – \sigma_3 \right)^2 \right] \)

Eine einzelne fiktive Normalspannung \(\sigma_v\) soll jetzt die gleiche Gestaltänderungsenergie wie der räumliche Spannungszustand erzeugen. Diese fiktive Normalspannug ist die Vergleichsspannung.

\(\sigma_1 = \sigma_v\)
\(\sigma_2 = \sigma_3 =0\)

\(U_F=\frac{1+ \nu}{6 \cdot E} \left[ \left( \sigma_v – 0 \right)^2 + \left( \sigma_v – 0 \right)^2 + \left( 0 – 0 \right)^2 \right] \)

\(U_F=\frac{1+ \nu}{6 \cdot E} 2 \cdot \sigma_v^2 \)

Die Gestaltänderungsenergie der fiktiven Normalspannung wird der Gestaltänderungsenergie des realen Spannungszustandes gleichgesetzt.

\(\frac{1+ \nu}{6 \cdot E} 2 \cdot \sigma_v^2 = \frac{1+ \nu}{6 \cdot E} \left[ \left( \sigma_1 – \sigma_2 \right)^2 + \left( \sigma_1 – \sigma_3 \right)^2 + \left( \sigma_2 – \sigma_3 \right)^2 \right] \)

\(2 \cdot \sigma_v^2 = \left[ \left( \sigma_1 – \sigma_2 \right)^2 + \left( \sigma_1 – \sigma_3 \right)^2 + \left( \sigma_2 – \sigma_3 \right)^2 \right] \)

\(\sigma_v^2 = \frac{1}{2} \cdot \left[ \left( \sigma_1 – \sigma_2 \right)^2 + \left( \sigma_1 – \sigma_3 \right)^2 + \left( \sigma_2 – \sigma_3 \right)^2 \right] \)

\(\sigma_v = \sqrt{ \frac{1}{2} \cdot \left[ \left( \sigma_1 – \sigma_2 \right)^2 + \left( \sigma_1 – \sigma_3 \right)^2 + \left( \sigma_2 – \sigma_3 \right)^2 \right]} \)

Siehe auch:

QR