Spannungstensor

Im Zusammenhang mit der Festigkeitslehre taucht immer wieder der Begriff „Spannungstensor“ auf. Erst einmal soll geklärt werden, was überhaupt eine Tensor ist.

Ein Tensor 0. Stufe ist nichts weiter als eine Zahl, genauer ein Skalar. Der Tensor 1. Stufe ist ein Vektor, ein Tensor 2. Stufe eine Matrix. Es gibt auch noch Tensoren höherer Stufe. Diese kann man sich so vorstellen:

Epsilontensor

Ein Beispiel für einen Tensor 4. Stufe ist der Elastizitätstensor.

Beim Spannungstensor handelt es sich um einen Tensor 2. Stufe, also eine Matrix.

Der Spannungstensor ist eine 3×3-Matrix und präsentiert den Spannungszustand eines Körpers an einer bestimmten Stelle.

\(
S=
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\
\tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z}
\end{bmatrix}
\)

Diese Matrix enthält 6 unabhängige Größen.

  • \(\sigma_{x}\)
  • \(\sigma_{y}\)
  • \(\sigma_{z}\)
  • \(\tau_{xy}\)
  • \(\tau_{xz}\)
  • \(\tau_{yz}\)

Geschichtliches

Tensoren wurden zuerst in der Elastizitätstheorie verwendet. Die Verwendung des Spannungstensors geht auf Augustin-Louis Cauchy zurück.

Später verwendete James Clerk Maxwell Tensoren in der Elektrodynamik zur Beschreibung elektromagnetischer Felder.

Im Jahre 1905 erschien ein Aufsatz „Zur Elektrodynamik bewegter Körper“ in der Albert Einstein die Prinzipien von Maxwell auf die Bewegung von Körpern anwendete und damit die spezielle Relativitätstheorie begründetet.

Siehe auch:

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