Schwerpunkt

Schneidet man eine beliebige geometrische Figur aus Pappe aus, dann gibt es genau einen Punkt, an dem man die Pappe mit einer Nadel lagern kann, so dass sie sich im Gleichgewicht befindet. Dieser Punkt wird Schwerpunkt der Fläche genannt. Auch von Kurven und Körpern können Schwerpunkte berechnet werden. Hier geht es aber um Flächen.

Berechnet wird der Schwerpunkt mittels des statischen Momentes und der Querschnittsfläche.

\(y= \frac {S_z}{A}\)

\(z= \frac {S_y}{A}\)

Die statischen Momente werden allgemein nach diesen beiden Formeln berechnet:

\(S_y= \int_A z \cdot dA\)

\(S_z= \int_A y \cdot dA\)

Beispiel

Am Beispiel einer einfachen Fläche soll demonstriert werden, wie bei der Berechnung vorgegangen wird.

Querschnitt Maße

Beliebiges Koordinatensystem festlegen

Querschnitt Achsen

Die Lage ist grundsätzlich beliebig. Es ist jedoch sinnvoll, zwei Kanten des Querschnitts zu benutzen. Auf dieses Koordinatensystem werden die dann die Koordinaten des Schwerpunktes beziehen.

Unterteilung der Fläche

Querschnitt Teilflächen

Die Fläche wird in einfache Teilflächen aufgeteilt. Für jede Teilfläche muss die Lage des Schwerpunktes bekannt sein. In diesem Fall handelt es sich um Rechtecke. Die Schwerpunkte liegen hier:

Querschnitt Teilflächen mit Schwerpunkten

Flächen ermitteln

\(
A_1=1 cm \cdot 2 cm = 2 cm^2 \\
A_2=1 cm \cdot 4 cm = 4 cm^2 \\
A_3=1 cm \cdot 3 cm = 3 cm^2\)

\(A_{gesamt}= 2 cm^2 + 4 cm^2 + 3 cm^2= 9 cm^2 \)

Statisches Moment Sy ermitteln

Jede Fläche wird mit dem Abstand des Schwerpunktes zur y-Achse multipliziert.
\(
S_{1,y}= 2 cm^2 \cdot 0,5 cm = 1 cm^3 \\
S_{2,y}= 4 cm^2 \cdot 3,0 cm = 12 cm^3 \\
S_{3,y}= 3 cm^2 \cdot 5,5 cm = 16,5 cm^3\)

\(S_y= 1 cm^3 + 12 cm^3 + 16,5 cm^3\)

Statisches Moment Sz ermitteln

\(
S_{1,z}= 2 cm^2 \cdot 1 cm = 2 cm^3 \\
S_{2,z}= 4 cm^2 \cdot 0,5 cm = 2 cm^3 \\
S_{3,z}= 3 cm^2 \cdot 1,5 cm = 4,5 cm^3\)

\(S_z= 2 cm^3 + 2 cm^3 + 4,5 cm^3\)

y-Koordinate des Scherpunktes ermitteln

\(y= \frac{8,5cm^3}{9cm^2}\)

\(y= 0,94cm\)

z-Koordinate des Scherpunktes ermitteln

\(z= \frac{29,5cm^3}{9cm^2}\)

\(z= 3,28cm\)

Für die Berechnung der Querschnittswerte komplizierter Querschnittsformen gibt es entsprechende Spezialsoftware. Auch viele CAD-Programme können solche Berechnungen durchführen.

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