Herleitung der Schubspannungshypothese

Die Schubspannungshypothese nach Tresca geht davon aus, dass die betragsmäßig größte Schubspannung zum Versagen führt. Die größte Schubspannung entspricht der Differenz der Hauptnormalspannungen. Deswegen kann man die Schubspannungshypothese für den allgemeinen Spannungszustand auch so ausdrücken:

\(\sigma_v = max \left( \left| \sigma_1 – \sigma_2 \right|;\left| \sigma_2 – \sigma_3 \right|;\left| \sigma_3 – \sigma_1 \right|\right)\)

Für den ebenen Spannungszustand sieht die Formel vereinfacht so aus:

\(\sigma_v = \left| \sigma_1 – \sigma_2 \right|\)

Die Hauptspannungen sind so definiert (siehe Herleitung der Hauptspannungen):

\(\sigma_{1,2} = \frac{ 1}{ 2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \pm \frac{ 1}{ 2} \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y \right)^2 + 4 \tau_{xy}^2 }
\)

Das wird in die Formel oben eingesetzt:

\(\sigma_{v} =
\left|
\left(
\frac{ 1}{ 2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) + \frac{ 1}{ 2} \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y \right)^2 + 4 \tau_{xy}^2 }
\right) \\

\left(
\frac{ 1}{ 2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) – \frac{ 1}{ 2} \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y \right)^2 + 4 \tau_{xy}^2 }
\right)
\right|
\)

\(\sigma_{v} =
\left|
\left(
\frac{ 1}{ 2} \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y \right)^2 + 4 \tau_{xy}^2 }
\right)
+
\left(
\frac{ 1}{ 2} \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y \right)^2 + 4 \tau_{xy}^2 }
\right)
\right|
\)

\(\sigma_v = \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y \right)^2 + 4 \tau_{xy}^2}\)

Dabei handelt es sich allerdings um eine Vereinfachung. Es gibt Situationen, bei denen diese Vereinfachung falsche, unsichere Ergebnisse liefern kann.

Hier noch einmal die exakte Herleitung. Aus der Differenz der Hauptspannungen ergibt sich die größte Schubspannung. Für den allgemeinen Spannungszustand sieht das so aus:

\(\sigma_v = max \left( \left| \sigma_1 – \sigma_2 \right|;\left| \sigma_2 – \sigma_3 \right|;\left| \sigma_3 – \sigma_1 \right|\right)\)

Der ebene Spannungszustand hat nur zwei Hauptspannungen. Die dritte ist Null:

\(\sigma_3 =0\)

Dadurch ergibt sich für die Schubspannungshypothese des ebenen Spannungszustands:

\(\sigma_v = max \left( \left| \sigma_1 – \sigma_2 \right|;\left| \sigma_2 \right|;\left| \sigma_1 \right|\right)\)

\(\sigma_v = max \left( \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y \right)^2 + 4 \tau_{xy}^2};\left| \sigma_2 \right|;\left| \sigma_1 \right|\right)\)

Diese Formel wird auch in FEM-Software wie ANSYS oder RFEM verwendet.

Fazit: Bei der Verwendung der Schubspannungshypothese sollten auch immer die Hauptspannungen beachtet werden. Es gibt Situationen, bei der die maximale Schubspannung trotz Belastung Null ist.

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