Herleitung der Hauptspannungen

Die Normalspannungshypothese (auch Hauptspannungshypothese genannt) geht davon aus, dass das Versagen durch die betragsmäßig größte Hauptnormalspannung hervorgerufen wird. Im folgenden wird in kleinen leicht verständlichen Schritten gezeigt, wie die Formel für die Hauptspannungen des ebenen Spannungszustands zustande kommen.

Die Hauptspannungen sind als Eigenwerte des Spannungstensors definiert.

Der Eigenwert eines Tensors wird so berechnet:

\(det \left( S – \sigma E \right) = 0\)

Spannungstensor für den ebenen Spannungszustand:

\(
S=
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy}\\
\tau_{yx} & \sigma_{y}
\end{bmatrix}
\)

Einheitsmatrix:
\(
E=
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\)

Einsetzen in die Formel für Eigenwertberechnung:
\(
det \left(
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy}\\
\tau_{yx} & \sigma_{y}
\end{bmatrix}
– \sigma
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix}
\right) = 0\)

\(
det \left(
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy}\\
\tau_{yx} & \sigma_{y}
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
\sigma & 0\\
0 & \sigma
\end{bmatrix}
\right) = 0\)

\(
det
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} – \sigma & \tau_{xy}\\
\tau_{yx} & \sigma_{y} – \sigma
\end{bmatrix}
= 0\)

Die Determinante wird expandiert:
\(\left( \sigma_x – \sigma \right) \left( \sigma_y – \sigma \right) – \tau_{xy}^2 =0\)

Es entsteht eine quadratische Gleichung.
\(\sigma_x \sigma_y – \sigma_x \sigma – \sigma_y \sigma + \sigma^2 – \tau_{xy}^2 =0\)

Diese wird in die Normalform überführt:
\(\sigma^2 – \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \sigma + \sigma_x \sigma_y – \tau_{xy}^2 =0\)

Die Nullstellen der quadratischen Funktion sind die Hauptspannungen. Die Nullstellen werden mit der p-q-Formel berechnet:
\(\sigma_{1,2}= – \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 – q}\)

\(p=-\left( \sigma_x + \sigma_y \right)\)

\(q= \sigma_x \sigma_y – \tau_{xy}^2\)

Einsetzen in die p-q-Formel:
\(\sigma_{1,2}= \frac{1}{2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \pm \sqrt{ \frac{1}{4} \left( \sigma_x + \sigma_y \right)^2 – \sigma_x \sigma_y – \tau_{xy}^2}\)

Die Klammer unter der Wurzel wird entsprechend der 1. Binomischen Formel aufgelöst:
\(\sigma_{1,2}= \frac{1}{2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \pm \sqrt{ \frac{1}{4} \left( \sigma_x^2 + 2 \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 \right) – \sigma_x \sigma_y – \tau_{xy}^2}\)

\(\sigma_{1,2}= \frac{1}{2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \pm \sqrt{ \frac{1}{4} \left( \sigma_x^2 + 2 \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 – 4 \sigma_x \sigma_y + 4 \tau_{xy}^2 \right)}\)

\(\sigma_{1,2}= \frac{1}{2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \pm \frac{1}{2} \sqrt{ \sigma_x^2 – 2 \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 4 \tau_{xy}^2 }\)

Die ersten drei Summanden unter der Wurzel werden entsprechend der 2. Binomischen Formel zusammengefasst:
\(\sigma_{1,2}= \frac{1}{2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \pm \frac{1}{2} \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y\right)^2 + 4 \tau_{xy}^2 }\)

Daraus ergibt sich die allgemein gebräuchliche Formel für die Hauptspannungen des ebenen Spannungszustands.

Für den räumlichen Spannungszustand kann genau nach dem gleichen Schema vorgegangen werden. Der Spannungstensor für den räumlichen Spannungszustand ist allerdings eine 3×3-Matrix. Das Expandieren der Determinante liefert dann ein Polynom 3. Ordnung. Die drei Nullstellen des Polynoms lassen sich nicht mehr so einfach finden, wie die der quadratischen Gleichung.

QR