Gestaltänderungshypothese (GEH)


Diese Vergleichsspannungshypothese ist auch unter folgenden Namen bekannt:

  • Vergleichsspannung nach von Mises, Huber und Hencky
  • Gestaltänderungsenergiehypothese
  • umgangssprachlich “Von-Mises-Spannung

Die Vergleichsspannung nach der Gestaltänderungshypothese ist mit Sicherheit die bekannteste und am häufigsten angewendete Vergleichsspannung. Für Metalle und alle anderen Materialien, die nicht spröde sind, kann die Gestaltänderungshypothese verwendet werden. Ein wichtiges Anwendungsgebiet ist der Stahlhochbau.

Voraussetzung für die Anwendung dieser Vergleichsspannungshypothese ist, dass man ein isotropes Material annehmen kann, das auf Zug und Druck die gleiche Belastbarkeit hat.

Eine Erweiterung der Gestaltänderungshypothese ist die Festigkeitshypothese nach Drucker-Prager. Diese kann auch bei Materialien angewendet werden, die auf Druck und Zug unterschiedliche Belastbarkeiten haben.

Was genau diese Hypothese mit der Gestaltänderungsenergie zu tun hat, ist in der Herleitung nachzulesen.

Stäbe

\(\sigma_v = \sqrt{ \sigma^2 + 3 \tau^2}\)

Flächen (ebener Spannungszustand)

\(\sigma_v = \sqrt{ \sigma_x^2 + \sigma_y^2 – \sigma_x \sigma_y + 3 \tau_{xy}^2}\)

Räumlichen Spannungszustand

\(\sigma_v = \sqrt{ \sigma_x^2 + \sigma_y^2 + \sigma_z^2 – \sigma_x \sigma_y – \sigma_x \sigma_z – \sigma_z \sigma_y + 3 \left( \tau_{xy}^2 + \tau_{xz}^2 + \tau_{yz}^2 \right)}\)

Die Formel kann auch mit Hautspannungen ausgedrückt werden:

\(\sigma_v = \sqrt{ \frac{ 1}{ 2} \left[ \left( \sigma_1 – \sigma_2 \right)^2 + \left( \sigma_2 – \sigma_3 \right)^2 + \left( \sigma_3 – \sigma_1 \right)^2 \right] }\)

Was bedeutet “Gestaltänderungsenergie

Wenn ein Körper verformt wird, dann kann man die Deformation in zwei Anteile aufteilen. Der erste Anteil führt zu einer Verformung, die zu einem mathematisch ähnlichen Körper führt. Der zweite Anteil verzerrt den Körper, er ändert die Gestalt. Die dafür notwendige Energie wird Gestaltänderungsenergie genannt.

Die Gestaltänderungsenergiehypothese geht davon aus, dass für das Versagen nur die Energie maßgebend ist, die für die Verzerrung des zweiten Anteils notwendig ist.

Bei hydrostatischen Spannungszuständen ist diese Vergleichsspannung Null. Hydrostatisch bedeutet, dass die Spannung in allen Richtungen gleich ist. Wenn näherungsweise ein hydrostatischer Spannungszustand vorliegt, dann kann diese Hypothese nicht angewendet werden.

Siehe auch:

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