Verzerrungstensor

So wie die Dehnung hier beschrieben ist gilt sie nur für den eindimensionalen Fall. Aus der Dehnung und dem E-Modul kann nach dem Hookeschen Gesetz eine Spannung berechnet werden. Diese Spannung ist auch ein skalarer Wert.

Wir wissen aber, dass die Spannung allgemein formuliert kein Skalar (Tensor 0. Stufe) sondern eine Matrix (Tensor 2. Stufe) ist, der Spannungstensor.

Analog dazu ist die Dehnung im allgemeinen Fall ebenfalls ein Tensor 2. Stufe, der Verzerrungstensor.

\(\tilde{\epsilon} =
\begin{bmatrix}
\epsilon_{xx} & \epsilon_{xy} & \epsilon_{xz}\\
\epsilon_{yx} & \epsilon_{yy} & \epsilon_{yz}\\
\epsilon_{zx} & \epsilon_{zy} & \epsilon_{zz}
\end{bmatrix}
\)

Die Matrix ist symmetrisch. Es gilt also:

\(\epsilon_{ij}=\epsilon_{ji}\)

Die einzelnen Elemente des Tensors sind wie folgt definiert:

\(\epsilon_{ij}= \frac{ 1}{ 2} \left( \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i} \right)\)

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