Hauptspannungen

Den allgemeinen Spannungszustand kann man durch sechs unabhängige Spannungen beschreiben. Diese sechs Spannungen bestehen aus 3 Normalspannungen und 3 Schubspannungen und werden im Spannungstensor dargestellt. Diese Spannungen beziehen sich auf ein willkürlich gewähltes Koordinatensystem (x,y,z). Das Koordinatensystem kann man beliebig drehen. Die Spannungen im Spannungstensor ändern sich dann, der Spannungszustand bleibt aber der gleiche. Es gibt also unendlich viele Möglichkeiten, ein und den selben Spannungszustand in einem Spannungstensor darzustellen.

Das Koordinatensystem kann so gedreht werden, dass nur noch Spannungen auf der Hauptdiagonale übrig bleiben. Das heißt, dass die Schubspannungen verschwinden und nur noch Normalspannungen übrig bleiben. Diese Normalspannungen werden Hauptspannungen genannt.

\(S=\begin{pmatrix}
\sigma_{1} & 0 & 0\\
0 & \sigma_{2} & 0\\
0 & 0 & \sigma_{3}
\end{pmatrix}\)

Um das Koordinatensystem so zu drehen wird mathematisch gesehen ein Eigenwertproblem gelöst (siehe auch Herleitung der Hauptspannungen für den ebenen Spannungszustand).

\(det \left( S – \sigma E \right)=0\)

S: Spannungstensor
E: Einheitsmatix

Für den ebenen Spannungszustand werden die Hauptspannungen nach der folgenden Formel berechnet:

\(\sigma_{1,2} = \frac{ 1}{ 2} \left( \sigma_x + \sigma_y \right) \pm \frac{ 1}{ 2} \sqrt{ \left( \sigma_x – \sigma_y \right)^2 + 4 \tau_{xy}^2 }\)
\(\sigma_x\), \(\sigma_y\): Spannungen in x- bzw. y-Richtung
\(\tau_{xy}\): Schubspannung

Die Richtung der Hauptspannungen wird nach der folgenden Formel berechnet:

\(tan \left( 2 \alpha \right) = \frac{\tau_{xy}}{\sigma_x – \sigma_y}\)

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