Vergleichsspannungen

Einleitung

Vergleichsspannung“ bzw. „Vergleichsspannungshypothese„, diesen Begriff aus der Festigkeitslehre hat jeder Ingenieur schon einmal gehört. Die meisten werden sich auch noch an die folgende einfache Formel erinnern:

\(\sigma_v=\sqrt{\sigma^2+3 \tau^2}\)

Die Formel beschreibt die Berechung der Von-Mises-Vergleichsspannung für Stäbe. Hier soll es aber vorwiegend um den zweiachsigen Spannungszustand in Flächen (ebener Spannungszustand) und den räumlichen Spannungszustand gehen.

Wozu Vergleichsspannungen?

Zunächst soll erst einmal geklärt werden, was eine Vergleichsspannung ist und wozu man diese braucht.

Der allgemeine Spannungszustand eines Körpers wird durch folgende Spannungen beschrieben:

  • \(\sigma_x\)
  • \(\sigma_y\)
  • \(\sigma_z\)
  • \(\tau_{xy} = \tau_{yx}\)
  • \(\tau_{xz} = \tau_{zx}\)
  • \(\tau_{yz} = \tau_{zy}\)

Diese können als Spannungstensor geschrieben werden:

\(
S=
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\
\tau_{yx} & \sigma_{y} & \tau_{yz}\\
\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{z}
\end{bmatrix}\\
\)

Der Spannungstensor wurde von dem französischen Mathematiker Augustin Louis Cauchy entwickelt.

Beim ebenen Spannungszustand wird es etwas übersichtlicher. Einige Spannungen werden zu Null und es ergibt sich folgender Spannungstensor:

\(
S=
\begin{bmatrix}
\sigma_{x} & \tau_{xy} & 0\\
\tau_{yx} & \sigma_{y} & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}\\
\)

Das ist zwar etwas einfacher als der vollständige Spannungstensor für den räumlichen Spannungszustand aber immer noch sehr unhandlich.

Die Materialeigenschaften von vielen Materialien werden durch den Zugversuch ermittelt. Neben den E-Modul wird auch eine Zugfestigkeit ermittelt. Mit dieser Zugfestigkeit muss der reale Spannungszustand verglichen werden. Genau dazu dient die Vergleichsspannung. Aus dem realen, mehrachsigen Spannungszustand wird eine einzige Spannung errechnet, die im Material die gleiche Anstrengung verursachen würde, wie der mehrachsige Spannungszustand. Dafür gibt es die verschiedensten Annahmen, die Vergleichsspannungshypothesen genannt werden:

Oft werden diese auch Festigkeitshypothesen oder Anstrengungshypothesen genannt.

Die klassischen Vergleichsspannungen werden vor allem für die Beurteilung der Tragfähigkeit von metallischen isotropen Werkstoffen verwendet, wie z. B. im Stahlbau, Maschinenbau oder zur Auslegung von Aluminiumkonstruktionen. Neben den Vergleichsspannungen gibt es noch eine Reihe weiterer Festigkeitshypothesen, die sich z. B. besser für orthotrope Materialien eignen.

Für Smartphones mit dem Betriebssystem Android gibt es eine App, mit der diese Vergleichsspannungen und noch einige andere Spannungen mehr zu berechnen sind.

QR